Søk
  • steinerikkirkeboen

Han løste likningen som hadde plaga matematikerne i 350 år

Minst en har tatt sitt eget liv på grunn av den. En annen redda livet på grunn av den. En kvinne måtte utgi seg for å være mann. En rakk å skrive ned sine resultater natta før han døde i en duell. Historien om Fermats siste sats viser at matematikk kan være spennende. Og farlig. Og slitsomt.

ANDREW WILES DREIV MATEMATIKK SOM UTHOLDENHETSIDRETT. ÅTTE ÅR BAK STENGT KONTORDØR TOK DET FØR HAN BEVISTE PÅSTANDEN PÅ TAVLA.

Det er knallhardt å gå til Nordpolen, og å bestige Mount Everest. VM i sjakk er en tøff påkjenning, akkurat som - men helt annerledes enn – Tour de France. Det er mye som er tøft og hardt og krevende på mange forskjellige måter. Det er mye som ikke kan sammenlignes. Men det er ikke mange som har gjennomført en tøffere utholdenhetsprøve enn Andrew Wiles.

Han er matematiker. Og han har stått for «en av den menneskelige tankes største manifestasjoner», ifølge BBC-journalisten John Lynch. Dette er den utrolige historien om Wiles bragd.

Sommeren 1993 var et par hundre av verdens fremste tallteoretikere samla til en stor matematikerkongress på Isaac Newton Institute i Cambridge, England for å diskutere L-funksjoner og aritmetikk. Knapt noen visste at det bak den vage tittelen skjulte seg en sensasjon, løsningen på en 350 år gammel gåte.

23. juni gikk 40 år gamle Andrew Wiles opp på kateteret i fødebyen for å holde den første av tre forelesninger. Og – selv om de færreste tilhørerne ante det – for å bevise Fermats siste sats.

Dette var første gang Wiles opptrådte offentlig på sju år. Så lenge var det siden han bestemte seg for å trekke seg tilbake fra fagmiljøet, og sitte for seg sjøl på kontoret i Princeton hvor han var professor i matematikk og ekspert på tallteori. Bak den stengte kontordøra skulle han jobbe med prosjektet han hadde drømt om og grubla over siden han leste om Fermats siste sats på det lokale biblioteket som tiåring.

Kraftprøven

For at hans selvpålagte, indre eksil ikke skulle bli for påfallende, sørga han for å publisere en artikkel eller to i året. Men det han egentlig dreiv med – hele tida i disse sju åra - var å gjøre det umulige, å løse det uløselige problemet.

Å jobbe i sju år med ett matematisk bevis høres mye ut for oss ikke-matematikere. Men i dette tilfellet er det lite. Mange hadde jobba lenger enn Wiles med å knekke nøtta. I mer enn 350 år hadde arven etter Fermat plaga verdens matematiske elite. Minst én tok livet av seg i fortvilelse, en annen overlevde fordi han ble så fengslet av historien om Fermats siste sats at han glemte(!) å begå selvmord på den tida han hadde fastsatt.

Den glupe dommers irriterende arv

På 1600-tallet ble dommerne oppfordret til ikke å være utadvendte og ha et aktivt sosialt liv. Tanken var at jo færre venner og bekjente de hadde, jo mindre var faren for at de skulle bli nødt til å sette seg til doms over nettopp venner og bekjente. Det kan godt hende dette kravet om å føre et begrensa sosialt liv passa Fermat godt. Han hadde nemlig en hobby som han dyrka med stor lidenskap og som han utmerket godt kunne dyrke i ensomhet. Han var opptatt av matematikk. Glødende opptatt.

Akkurat hva dommer Fermat sysla med på sitt lønnkammer i fritiden var det ingen som helt visste før han døde. Etterpå brukte sønnen fem år på å gå gjennom farens etterlatenskaper, skriblerier og notater. GAMLE FERMAT VAR UTVILSOMT EN

Han fant blant annet en lang rekke matemat- LURING, MEN VAR HAN SÅ LUR AT HAN iske satser eller formodninger som faren BEVISTE SIN EGEN SATS?

hevda at han hadde bevist, og som satte grå

hår i hodet på matematikere i generasjonene etter ham. Men nøttene ble knekket og det ble bevist at de stemte. Ett eksempel, Fermat nøyde seg ikke med å påpeke at tallet 26 er svært spesielt; det er det eneste tallet som er klemt inne mellom et kvadrattall (25=5x5 og et kubikktall (27=3x3x3). Han beviste det. (Jeg klarer ikke en gang å skrive potens)

Sånne ting hygga han seg med når han ikke dømte.

Men sønnens store funn, det var noen få setninger som var rabla ned i margen til en av farens favorittbøker, den greske matematikeren Diofants lærebok Arithmetica. Sannsynligvis ble de rabla ned rundt 1637. Fermat hadde notert at det «er umulig for ethvert tall som er en større potens enn annen potens, å bli skrevet som summen av to like potenser». Eller: hvis et tall n er større enn 2, så har an + bn = cn ingen løsninger hvor a, b og c er heltall forskjellig fra null.

Pytagoras

Noen trekker kanskje kjensel på formelen fra mattetimene på skolen? I det tilfellet hvor n=2, er den kjent som Pytagoras læresetning. Den sier noe om forholdet mellom kvadratet av sidene på en rettvinkla trekant. Og den har et uendelig antall løsninger, for eksempel:

a = 3 og b = 4 så blir c = 5 = 9+16 = 25 = 5 i annen.

Fermat hevdet at hvis n er større enn to, så finnes ingen løsninger.

Det er ikke så oppsiktsvekkende, det kunne hvem som helst hevde. Det som var oppsiktsvekkende - og irriterende for alle de matematikerne som gjennom 350 år har mislyktes med finne løsningen - var at han også skreiv «av denne påstanden har jeg en virkelig vidunderlig demonstrasjon som denne margen er for smal til å romme». Han hadde altså ført bevis for sin oppsiktsvekkende påstand, men han hadde ikke plass til å skrive det ned!

Siden har det å finne beviset vært en besettelse for mange matematikere.

I 350 år hadde matematikerne ergra seg grønne over at de ikke klarte det. De har revet seg i håret og prøvd. Og prøvd. Nå er satsen bevist, men fortsatt lurer de på om Fermat virkelig klarte å bevise den med de redskapene matematikerne på hans tid hadde til disposisjon.

Enkelt - og umulig

Det at de ikke har fått det til, er dobbelt forsmedelig fordi satsen er så enkel at selv et barn, eller en journalist, kan forstå den. På den annen side er det – som vi skal se – usedvanlig vrient å finne bevis for at den virkelig er sann for alle tall.

- Store matematiske problemer er ofte sånn; enkle å formulere, vanskelig å bevise, sier professor Paul Arne Østvær ved Matematisk institutt ved Universitetet i Oslo.

For å illustrere hvor vrient det var å finne beviset for Fermats siste sats; i en novelle fra 1958 beskriver Arthur Poges et møte mellom Simon Flagg og djevelen. Djevelen ber Flagg stille ham et vrient spørsmål. Finner djevelen svaret i løpet av 24 timer skal han få Flaggs sjel, finner han det ikke, skal Flagg få 100.000 dollar. ANDREW WILES ER EN AV MATEMATIKKENS Flagg spør om Fermats siste sats er sann. SUPERSTJERNER OG HAR FÅTT EN HAUG 24 timer seinere kommer en fortvilet MED PRISER OG UTMERKELSER, BLANT djevel. Med pengene. Han har ikke funnet DEN NORSKE ABELPRISEN svaret. Ikke engang en fyr på planeten Saturn som så ut som en «sopp på stylter og som løste partielle differensialligninger i hodet», kunne svare.

Beviset

Men så, endelig, etter en umenneskelig kraftanstrengelse brøt Wiles ut av sitt eksil, gikk opp til tavla i Cambridge og gjorde det ingen hadde klart på 350 år; han førte bevis for at Fermat har rett.

Beviset er en enorm, teoretisk konstruksjon. Det er på 200 sider, og det er innvikla satt sammen av hundrevis av matematiske ligninger limt sammen av tusenvis av logiske forbindelser. Det baserer seg blant annet på elliptiske ligninger og modulære former og mye annet som vi vanlige dødelige knapt nok kan stave, langt mindre skjønner bæret av.

- Jeg vil anta at det i hele Norge er et tosifra antall personer, et sted mellom ti og hundre, som kan skjønne beviset, sier Østvær, som tilhører den lille gruppen.

Hvis én av beregningene i det voldsomme verket skulle vise seg å være feil eller én av forbindelsene ikke holde, så vil det være nok til at hele det voldsomme byggverket som Wiles presenterte i sine tre forelesninger i juni 1993 klappa sammen.

Beviset vakte enorm oppsikt. Det ble slått opp på førstesider i store, seriøse aviser verden over. Matematikerne jublet. Endelig var det en som kunne gjøre krav på prisen på 100.000 tyske mark, et tosifra antall millioner norske kroner i dag, som industrieieren og rikmannen Paul Wolfskehl hadde satt opp i 1908. Han lovet prisen til den som kunne bevise satsen som hadde redda hans liv. Han sleit så tungt med kjærligheten at han ville avslutte sitt jordiske liv ved å skyte seg ved midnatt en spesiell dato. Da alle forberedelser var gjort, var det fortsatt noen timer igjen til dødstidspunktet. Han ville bruke de siste timer av sitt liv i selskap med en avhandling hvor den tyske matematikeren Ernst Kummer konkluderte med at et bevis av satsen ikke kunne føres med de kjente matematiske metodene. Ifølge Kummer var satsen umulig å løse.

Og så fant Wolfskehl mens han venta på at tida for hans selvmord skulle komme, en feil i den berømte avhandlingen!

Han ble så oppslukt at han ble sittende med matematikkstudiene hele natta. Siden han ikke skjøt seg på det fastsatte tidspunktet, skrinla han hele selvmordprosjektet. Han reiv i stykker alle brev, endra sitt testamentet og satte av penger til prisen.

Beviset blir gransket

85 år etter at prisen ble satt opp, lå et bevis omsider på bordet. Men for å få prisen, var det ikke nok å legge fram et bevis. Beviset måtte gjennomgås, granskes og godkjennes av kolleger og publiseres for at man skal være helt sikker på at det ikke er noen feil.

Wiles’ 200 sider lange bevis ble fordelt blant seks eksperter - to eller tre er vanlig, men dette beviset var så omfattende at det krevde spesialister fra mange grener av den moderne matematikk – som skulle gjennomgå og granske ett kapittel hver. Inntil de var ferdige, fikk ingen andre tilgang til det oppsiktsvekkende manuskriptet.

Wiles satt hjemme i Princeton,beit negler og besvarte e-poster fra granskerne som hadde spørsmål eller ønsket utdypelser, mens han venta på dommen. Alle spørsmål og kommentarer ble kurant besvart.

En av granskerne var Nick Katz, professor og kollega av Wiles på Princeton. Han var den eneste Wiles på forhånd hadde testa ut beviset på før han presenterte det på forelesningen. Sammen med en medhjelper skulle Katz gjennomgå det 70 sider lange kapittel tre. «Underveis ble vi så forvirra at jeg omtrent hver dag, noen ganger to ganger om dagen, sendte E-post til Andrew med spørsmål», fortalte han da det hele var over.

Feil!

Kjapt fikk han svar på sine spørsmål, og kunne snirkle seg videre. Men så, etter to måneder, kom han over et forhold som ikke var så bagatellmessig som partene først antok. Han jobba med det. Vrengte og vred. Prøvde å finne en forklaring. Men det var ingen forklaring.

Det var en feil i beviset!

Vi skal ikke gå inn på hva som var feil – i sin bok Fermats siste sats skriver forfatteren og matematikeren Simon Singh at «feilen er så abstrakt at den faktisk ikke kan beskrives på en enkel måte. Selv det å forklare den for en matematiker vil kreve at matematikeren bruker to, tre måneder på detaljstudier av denne delen av manuskriptet» - bare slå fast at byggverket raste sammen.

Eller gjorde det det?

Enda et år bak lukket dør

Wiles nekta å gi seg, fikk med seg en assistent og krøp inn i sitt lønnkammer igjen. Målet var å rette feilen og å gjenreise det omfattende byggverket i løpet av noen dager.

Assistenten beskrev seinere oppgaven som å legge et teppe i et rom som var for lite til teppet; det er umulig å få det på plass i det fjerde hjørnet. Sånn var det med beviset også: hver gang de trodde de hadde en løsning, dukka det opp et problem lenger ute i beviset.

Det tok mye lenger tid enn Wiles hadde trodd. Dagene ble til uker. Uker ble til måneder. September ble oktober ble november, desember….

Ryktene begynte å gå; hva var feil med beviset, hvorfor ble det ikke offentliggjort? Mens Wiles regna og vurderte, økte presset og trykket og ryktene.

I desember ble trykket så hardt at Wiles måtte gi et livstegn. Han sendte ut en melding. Der skrev han at han ville ha løst problemet når han skulle holde et kurs tidlig i februar.

Det gjorde han ikke.

Presset øker

Stadig flere uttrykte mistillit til Wiles. Som på sin side tenkte og tenkte og regna og regna. Han nekta å frigi manuskriptet, han ville ikke ta sjansen på at en annen skulle klare å finne løsningen og dermed få æren og gleden av å fullføre arbeidet som han hadde lagt så mye av sitt liv ned i. Mens kravet om at manuskriptet måtte frigis slik at alle kunne bryne seg på det økte, henta Wiles inn en tidligere elev, Richard Taylor, til å hjelpe seg.

Februar gikk. Og mars. Da begynte en e-post å sirkulere. Ifølge den hadde en annen matematiker klart å bevise at Fermats siste sats IKKE var sann. Den satte den matematiske verden på hodet. Helt til den ble avslørt som en aprilsnarr.

April gikk, mai og juni og resten av sommeren. Wiles ville gi opp. Taylor ville reise tilbake til Cambridge i oktober.

JEG ANER IKKE HVORDAN TAVLA TIL WILES SÅ UT DA HAN; PÅ OVERTID, FORSØKTE Å RETTE FEILEN I SIN LØSNING PÅ DET 350 ÅR GAMLE PROBLEMET. KANSKJE SÅNN?


Og så - åpenbaringen

Så, 19. september 1994: - Da fikk jeg helt plutselig og uventa en åpenbaring, skrev Wiles i ettertid.

Vi skal ikke trette noen med å gå inn nærmer inn på Kolyvagin-Flach-metoden eller Iwasawa–teorien eller andre matematiske finurligheter som vi ikke er i nærheten av å skjønne noe av. Bare slå fast et ett år på overtid hadde Andrew Wiles klart det. Satsen var bevist.

Etter totalt åtte år hadde han fullført sitt utrolige utholdenhetsløp. Han hadde funnet løsningen på gåta som forgjengerne hans hadde slitt med i mer enn 350 år. Han hadde bevist at Fermats siste sans er sann!

Et drøyt år etter at han første gang hadde antyda at hans kone ville få beviset i fødselsdagspresang, fikk hun det virkelig: «Jeg tror hun likte presangen bedre enn noe annet jeg hadde gitt henne».

Klokken 11.04 25. oktober 1994 ble verden informert om at to manuskripter var frigitt: Modulære elliptiske kurver og Fermats siste sats av Andrew Wiles og Ringteoretiske egenskaper til visse Hecke-algebraer av Richard Taylor og Andrew Wiles.

Nøtten var knekt, og satsen bevist.

Hvor viktig var det?

- Det var en bragd å føre beviset, men det å bevise at Fermats siste sats var sann, var ikke så viktig i seg selv. Det viktige var all den nye teorien som Wiles bygde under sine studier på vei mot målet. Han utvikla nye matematiske redskaper som er viktige. På en måte kan du si at veien han gikk var viktigere enn målet han nådde, sier Østvær.

Bløffa Fermat?

Beviset krever teknikker og metoder som ble kjent lenge etter at Fermat skrev at han hadde et elegant, lite bevis. Wiles’ bevis var kanskje elegant, det var helt sikket ikke lite.

Ett spørsmål er stadig ubesvart: klarte virkelig Fermat, med de matematiske redskapene man kjente til og kunne benytte på hans tid, å bevise sin egen sats?

Selv om han holdt en lav profil og ikke publiserte ei eneste bok i sin levetid, var Fermat en av de ledende matematikere i sin samtid. Han har også satt store spor etter seg i ettertida, blant annet regnes han som en av skaperne av sannsynlighetsteorien. Hvor sannsynlig er det egentlig at han klarte å føre bevis for sin egen sats?

- Det er veldig lite sannsynlig at han virkelig klarte det med de hjelpemidlene han hadde til disposisjon på 1600-tallet. Det var nok en spøk, et pek til fremtidige matematikere fra den gamle dommer. Hvis han hadde kunnet følge alt som har skjedd etter at hans margnotat og sett alle de grå det har gitt senere generasjoner av matematikere, ville han nok moret seg kongelig, tror Østvær.


HVIS DETTE GA MERSMAK, SÅ FINNER DU SANNSYNLIGVIS BOKA "FERMATS SISTE SATS" SKREVET AV SIMON SINGH PÅ ET BIBLIOTEK NÆR DEG.

32 visninger0 kommentarer

Siste innlegg

Se alle